Задача 28915 найти частное решение линейного...

u516715123

13.07.2018

найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью y''+4y=sinx y(0)=1 y'(0)=1

SOVA

13.07.2018

Решаем однородное:
y``+4y=0
Составляем характеристическое:
k^2+4=0
k= ± 2i
альфа =0; бета =2
Общее решение однородного уравнения имеет стандартный вид:
y_(общее однород.)=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x

Так как f(x)=1*sinx+0*cosx, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
y_(част. неодн)=A*sinx+B*cosx

y`=Acosx-Bsinx
y``=-Asinx-Bcosx

Подставляем y`` и y в данное неоднородное уравнение:

-Asinx-Bcosx+4(sinx+Bcosx)=sinx;
3Asinx+3Bcosx=sinx
3A=1
3B=0
A=1/3

y_(частное неодн.)=(1/3)sinx

y_(общее неодн.)=y_(общее одн)+y_(частное неодн.)=

=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x+(1/3)sinx

чтобы найти C_(1) и С_(2)
используем условия:
y(0)=1
y`(0)=1

y`=2C_(1)cos2x-2C_(2)sin2x+(1/3)cosx
1=2C_(1)+(1/3)
1=C_(2)

C_(2)=1; C_(1)=(1/3)

О т в е т.
у=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x+(1/3)sinx - общее решение данного неоднородного уравнения
y=(1/3)sin2x+2cos2x+(1/3)sinx - частное решение данного неоднородного уравнения, удовлетворяющее задаче Коши.