Задача 35985 ...

vk420081236

17 апреля 2019 г. в 16:00

|6–7^x| ≤ (7^x–6)·log по осн. 6 от (x+1)

sova

17 апреля 2019 г. в 16:09

|6–7^x| ≤ (7^x–6)·log₆(x+1)
ОДЗ: х+1 >0 ⇒ x > –1

Раскрываем модуль по определению
Если
6–7^x≥ 0, то |6–7^x|=6–7^x

Неравенство принимает вид:
6–7^x ≤ (7^x–6)·log₆(x+1)

или

6–7^x – (7^x–6)·log₆(x+1) ≤ 0

(6–7^x)·(1+log₆(x+1) ≤ 0

{6–7^x≥ 0 ⇒ 7^x ≤ 6 ⇒ x ≤ log₇6
{1+log₆(x+1) ≤ 0 ⇒ log₆(x+1) ≤ –1 ⇒ log₆(x+1) ≤ log₆(1/6)

x+1 ≤ 1/6 ⇒ x ≤ –5/6

0<log₇6 <1
–5/6 < log₇6

C учетом ОДЗ получаем ответ первого случая
(–1; –5/6]

второй случай:

6–7^x< 0, то |6–7^x|=7^x–6

Неравенство принимает вид:
7^x–6 ≤ (7^x–6)·log₆(x+1)

или

7^x–6 – (7^x–6)·log₆(x+1) ≤ 0

(7^x–6)·(1–log₆(x+1) ≤ 0

{6–7^x< 0 ⇒ 7^x > 6 ⇒ x > log₇6
{1–log₆(x+1) ≤ 0 ⇒ log₆(x+1)≥ 1 ⇒ log₆(x+1) ≥ log₆6

x+1≥ 6 ⇒ x ≥ 5

{ x > log₇6
{x≥ 5
C учетом ОДЗ получаем ответ второго случая
[5;+ ∞ )

О т в е т. (–1;–5/6] U [5;+ ∞ )