Задача 44087 Найдите наименьшее значение...

slava191

2020-02-08 21:43:03

Найдите наименьшее значение функции

f(x) = (x-2)(x-1)(x+1)(x+2)

на отрезке [-1; 2].

sova

2020-02-08 22:44:48

★

f(x)=[b]([/b](x-2)*(x+2)[b])[/b]*[b]([/b](x-1)*(x+1)[b])[/b]

f(x)=(x^2-4)*(x^2-1)

f(x)=x^4-4x^2-x^2+4

f(x)=x^4-5x^2+4

Находим производную:

f`(x)=4x^3-10x


f`(x)=0

4x^3-10x=0

2x*(2x^2-5)=0

x=0 и x= ± sqrt(2,5) - точки возможного экстремума

Отрезку [-1;2] принадлежат точки x=0 и х=sqrt(2,5)
Расставляем знак производной

[-1] __+___ (0) __-___ (sqrt(2,5)) ___+__[2]

x=0 - точка максимума

х=sqrt(2,5) - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(sqrt(2,5))=((sqrt(2,5))^2-4)*((sqrt(2,5))^2-1)=(2,5-4)*(2,5-1)=[b]-2,25[/b]

Значения на концах отрезка:

f(-1)=((-1)^2-4)*((-1)^2-1)=(1-4)*0=0
f(2)=(2^2-4)*(2^2-1)=0*3=0

О т в е т. Наименьшее значение функции на [-1;2] равно
[b]-2,25[/b]