Задача 13270 При каких значения параметра a...

slava191

28.01.2017

При каких значения параметра a неравенство

4^(1/sinx)-2(a-1)2^(1/sinx)-2a+5 > 0

выполняется при всех x из области определения неравенства?

SOVA

30.01.2017

★

Замена переменной:
2^(1/sinx)=t, t > 0
sinx≠0 ⇒ x≠πk, k∈Z.

Так как при 0 < sinx меньше или равно 1
1 меньше или равно (1/sinx) < + бесконечность,
2 меньше или равно 2^(1/x) < + бесконечность.

Так как при -1 меньше или равно sinx < 0
- бесконечность < (1/sinx) меньше или равно -1
0 < 2^(1/x) < 2^(-1)=1/2

Переформулируем задачу:
При каких значениях параметра a неравенство

t^2–2(a–1)t–2a+5 > 0

выполняется при всех t ∈ (0;1/2] U[2;+ бесконечность)
Это возможно тогда и только тогда, когда корни уравнения
t^2–2(a–1)t–2a+5=0 ∉(0;1/2] U[2;+ бесконечность).
А это возможно в следующих случаях
1) корней нет вообще, т.е D < 0
D=(2a-2)^2-4*(-2a+5)=4a^2-8a+4+8a-20=4a^2-16
4a^2-16 < 0 ⇒ -2 < a < 2
(-2;2)
2) D=0 a1=-2 или а2=2
тогда t1=a1-1=-2-1=-3 ∉(0;1/2] U[2;+ бесконечность).
t2=a2-1=2-1=1 ∉(0;1/2] U[2;+ бесконечность).
-2;2
3) D > 0, корни принадлежат (1/2;2)
{ 4a^2-16 > 0
{f(1/2) > 0;
{f(2) > 0;
{1/2 < t_(o) < 2, t_(о) - абсцисса вершины параболы.
или
{a < -2 или а > 2
{(1/4)-а+1-2а+5 > 0;
{4-4a+4-2a+5 > 0;
{1/2 < a-1 < 2

{a < -2 или а > 2
{a < 2 целых 1/12;
{a < 2 целых 1/6.
{1,5 < a < 3

(2 ; 2 целых 1/12)

4) D > 0 оба корня отрицательны
{D > 0;
{f(0) > 0
{ t_(o) < 0, t_(о) - абсцисса вершины параболы.

{a < -2 или a > 2
{-2a+5 > 0 ⇒ a < 5/2
{a-1 < 0 ⇒ a < 1
(-бесконечность; 2)

5) Корни разных знаков.
{D > 0
{f(1/2) > 0
{f(2) > 0
{f(0) < 0

{a < -2 или а > 2
{(1/4)-а+1-2а+5 > 0⇒a < 2 целых 1/12;;
{4-4a+4-2a+5 > 0⇒a < 2 целых 1/6;
{-2a+5 < 0⇒a > 2,5
система не имеет решений
Объединяем все ответы
(-бесконечность;2)U{-2}U(-2;2)U{2}U(2;2 целых 1/12)=(-бесконечность; 2 целых1/12)