Задача 34275 Какой точке симметричен график функции...

vk88297937

2019-03-07 17:53:59

Какой точке симметричен график функции f(x)=(x+1)(x-1)^2

sova

2019-03-07 18:30:39

★

Пусть точка (a;b)-центр симметрии графика
По определению ( см. приложение)
[b]f(a+x)+f(a-x)=b[/b]

Для данной функции:
f(a+x)=(a+x+1)(a+x-1)^2
f(a-x)=(a-x+1)(a-x-1)^2

f(a+x)+f(a-x)=(a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2

[b](a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2=b[/b]

Это равенство по определению должно выполняться
для любого х из области определения функции

[b]в том числе для х=0[/b]

(a+1)(a-1)^2+(a+1)(a-1)^2=b

[b]2(a+1)(a-1)^2=b[/b]

[b]и в том числе для х=1[/b]

(a+2)*a^2+a*(a-2)^2=b
a*(a^2+2a+a^2-4a+4)=b
[b]a*(2a^2-2a+4)=b[/b]

Приравниваем левые части

a*(a^2-a+2)=(a+1)(a-1)^2

a^3-a^2+2a=a^3-2a^2+a+a^2-2a+1

a=1/3
b=2(a+1)(a-1)^2
b=2*(4/3)*(-2/3)^2
b=32/27

О т в е т. [b](1/3; 32/27)[/b]

Определение: