Задача 37098 ...

anastasi

15 мая 2019 г. в 21:19

|ctg(2x–π/2)| = 1/(cos²2x) –1

sova

15 мая 2019 г. в 22:44

★

cos2x ≠ 0
2x≠(π/2)+πr, r ∈ Z
x≠(π/4)+(π/2)r, r ∈ Z

ctg(2x–(π/2))=–ctg((π/2)–2x)

ctg((π/2)–2x)=tg2x


(1/cos²2x) – 1= (1–cos²2x)/cos²2x=sin622x/cos²2x=tg²2x

|–tg2x|=tg²2x

Раскрываем знак модуля.

(1)
Если
–tg2x ≥ 0 ⇒ tg2x ≤ 0, то

|–tg2x|=–tg2x

уравнение принимает вид:

– tg2x=tg²2x

tg²2x+tg2x=0
tg2x·(tg2x+1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/2)·k, k ∈ Z
или
tg2x+1=0 ⇒ tg2x=–1 ⇒ 2x=(–π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(–π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≤ 0
удовлетворяют решения:

х=(–π/8)+ πm, m ∈ Z

(2)
–tg2x ≤ 0 ⇒ tg2x ≥0, то

|–tg2x|=tg2x

уравнение принимает вид:

tg2x=tg²2x

tg²2x–tg2x=0
tg2x·(tg2x–1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/2)·k, k ∈ Z
или
tg2x–1=0 ⇒ tg2x=1 ⇒ 2x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≥ 0
удовлетворяют решения:
x=(π/8)+ πm, m ∈ Z

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (π/2)·k, k ∈ Z ; (–π/8)+ πm, m ∈ Z; (π/8)+ πm, m ∈ Z