Задача 29200 ...

slava191

8 февраля 2018 г. в 00:00

7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' с боковыми рёбрами АА', ВВ', CC', DD'. Н а рёбрах АВ , ВС , CD , DA нижнего основания отмечены соответственно точки К, L, М, N, таким образом, что АК : КВ = 4 :5, BL : LC = 3 : 1, СМ : MD = 7:2, DN:NA = 3:1. Пусть Р, Q, R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNА', BLKB', CMLC', соответственно. Найдите PQ, если известно, что QR= 1 и АВ:ВС— 3:2.

SOVA

8 марта 2018 г. в 00:00

★

Тетраэдр BLKB' с вершиной в точке В, плоские углы при вершине – прямые.
Такой тетраэдр называется прямоугольным тетраэдром
К нему применимы методы, которые мы применяем к прямоугольному треугольнику.

В частности, достраиваем прямоугольный треугольник до прямоугольника. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника – диагональ прямоугольника

Достраиваем тетраэдр BLKB' до параллелепипеда.

Значит центр сферы, описанной около прямоугольного тетраэдра BLKB' – точка пересечения диагоналей K L' и K ' L прямоугольника KK'L'L. ( см. рис.1)

Q=K L' ∩ K ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Q_o – проекция точки Q на плоскость основания ABCD.
KQ_o=Q_oL

Аналогично,
Тетраэдр CMLC' с вершиной в точке C, плоские углы при вершине – прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра – точка пересечения диагоналей прямоугольника
MM'L'L
R=M L' ∩ M ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
R_o – проекция точки R на плоскость основания ABCD.
R_o – cередина LM.

Тетраэдр AKNA' с вершиной в точке A, плоские углы при вершине – прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра – точка пересечения диагоналей прямоугольника
KK'N'N
P=K N' ∩ K 'N
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

См. рис. 2

P_o – проекция точки P на плоскость основания ABCD.
KP_o=P_oN

P_o – cередина KN.

Q_oR_o=QR=1 ⇒ KM=2

По условию
AB:BC=3:2
Обозначим АВ=3х; ВС=2х

Так как
АК : КВ = 4 :5
AK=(3x/9)·4=4x/3
KB=(3x/9)·5=5x/3

Так как
BL : LC = 3 : 1
BL=(2x/4)·3=3x/2
LC=(2x/4)·1=x/2

Так как
СМ : MD = 7:2
СМ=(3х/9)·7=7х/3
MD=(3x/9)·2=2x/3

Так как DN:NA = 3:1
DN=(2x/4)·3=3x/2
NA=(2x/4)·1=x/2

Из прямоугольной трапеции АКMD
KM²=AD²+(AK–MD)²
KM²=(2x)²+((4x/3)–(2x/3))²
KM²=40x²/9
KM=2x√10/3

Так как ранее было отмечено, что КМ=2QR=2
2x·√10/3=2
x=3/√10

Из прямоугольной трапеции LCDN:
LN²=CD²+(ND–LC)²
LN²=(3x)²+((3x/2)–(x/2))²
LN²=10x²
LN=x·√10=(3/√10)·√10=3

P_oQ_o=(1/2)LN=3/2=1,5

PQ=P_oQ_o=1,5

О т в е т. 1,5