Задача 14602 (27^(x+1/3) -10*9^x +10*3^x...

u3796163

31.03.2017

(27^(x+1/3) -10*9^x +10*3^x -5)/(9^(x+1/2) -10*3^x +3) < =3^x +1/(3^x -2)+1/(3^(x+1) -1

SOVA

31.03.2017

★

Замена переменной:
3^x=t причем t > 0
9^x=t^2
27^x=t^3
27^(x+(1/3))=27^(x)*27^(1/3)=t^3*3
9^(x+(1/2)=9^x*9^(1/2)=9^x*3=3t^2
3^(x+`1)=3^x*3^1=3t

(3t^3-10t^2+10t-5)/(3t^2-10t+3) меньше или равно t+(1/(t-2))+(1/(3t-1))

3t^2-10t+3=0
D=100-36=64
t=3 или t=1/3
3t^2-10t+3=(3t-1)(t-3)
(3t^3-10t^2+10t-5)/((3t-1)(t-3))-t- (1/(t-2))-(1/(3t-1))меньше или равно 0;
((3t^3-10t^2+10t-5)*(t-2)-t*(t-2)*(3t-1)*(t-3)-(3t-1)*(t-3)-(t-2)*(t-3))/((3t-1)*(t-2)*(t-3)) меньше или равно 0;

Упрощаем числитель:
3t^4-10t^3+10t^2-5t-6t^3+20t^2-20t+10-
-3t^4+10t^3-3t^2+6t^3-20t^2+6t-3t^2+t+9t-3-t^2+2t+3t-6=
3t^2-4t+1;
Неравенство принимает вид:
(3t^2-4t+1)/((3t-1)*(t-2)*(t-3)) меньше или равно 0;

3t^2-4t+1=0
D=16-12=4
t=(4-2)/6=1/3 или t=(4+2)/6=1
3t^2-4t+1=(3t-1)(t-1)
4t^2-2t+1 > 0 при любом t
или
((3t-1)*(t-1))/((3t-1)*(t-2)*(t-3)) меньше или равно 0;
__-__ (1/3) _-__ [1] _+__ (2) _-__ (3) __+___

с учетом t > 0 получаем ответ:
(0;1/3)U(1/3;1] U (2;3)

0 < 3^x < 1/3 или (1/3) < 3^x меньше или равно 1 или 2 < 3^x < 3;
x меньше или равно -1 или -1 < x меньше или равно 0 или log_(3)2 < x < 1

О т в е т. (- бесконечность;-1) U (-1;0]U(log_(3)2;1)