Задача 33385 1.Найдите указанные неопределенные...
Условие
2.Вычислите указанный определенный интеграл, используя
формулу Ньютона–Лейбница
Решение
1) раскладываем знаменатель на множители:
x^3+5x^2-6=x^3-x^2+6x^2-6=x^2(x-1)+6*(x-1)(x+1)=
=(x-1)*(x^2+6x+6)
Дробь
x^2/(x^3+5x^2-6) раскладываем на простейшие дроби A/(x-1) + (Mx+N)/(x^2+6x+6)
x^2=A*(x^2+6x+6)+(Mx+N)*(x-1)
x^2=(A+M)x^2+(6A+M-N)x+(6A-N)
A+M=1
6A+M-N=0
6A-N=0
выражаем из третьего равенства N, из первого M
N=6A
M=1-A
и подставляем во второе
6A+(1-A)+(6A)=0
13A=-1
A=-1/13
N=-6/13
M=14/13
Выделяем полный квадрат
x^2+6x+6=(x^2+6x+9)-9+6=(x+3)^2-3;
∫ (x^2dx)/(x^3+5x^2-6) = (-1/13) ∫ dx/(x-1) + (1/13) ∫ (14x+6)/(x+3)^2-3)=
замена в последнем интеграле: х+3=t; x=t-3; dx=dt
=(-1/13)*ln|x-1|+(1/13)* ∫ (14t-8)dt/(t^2-3)=
=(-1/13)*ln|x-1| +(7/13)*ln|t^2-3|-(8/13)*(1/2sqrt(3))ln|(t-sqrt(3))/(t+sqrt(3))|+C
t=x+3
2.
5+2cos2x=5*(cos^2x+sin^2x)+2*(cos^2x-sin^2x)=
=7cos^2x+3sin^2x=cos^2x*(7+2tg^2x)
Замена
tgx=t
dt=(tgx)`dx
dt=dx/cos^2x
получим
∫ dt/(7+2t^2)=(1/2) ∫ dt/(t^2+(7/2))=
=(1/2)*(1/sqrt(7/2))*arctg(t/sqrt(7/2))+C=
= 1/sqrt(14) arctg((sqrt(2)*tgx)/sqrt(7)) + C
3.
Тригонометрическая подстановка
x=2sint
dx=2costdt
4-x^2=4-(2sint)^2=4-4sin^2t=4*(1-sin^2t)=4*cos^2t
получим
∫ (2cost)*(2costdt)=4 ∫ cos^2t dt= 4* ∫ (1/2)*(1+cos2t)dt=
=2t +2*(1/2)*sin2t+С
x=4sint ⇒
sint=(x/4) ⇒ t=arcsin(x/4)
и
cost=sqrt(1-(x/4)^2)
тогда
sin2t=2*(x/4)*sqrt(1-(x/4)^2)=x*sqrt(4-x^2)
можно воспользоваться методом интегрирования по частям, с помощью которого легко выводится формула в общем виде
см. приложение ( формула 15)
О т в е т. 2arcsinx +x*sqrt(4-x^2)+C
2.
Можно сделать замену переменной
t=lnx
dt=(lnx)`dx
dt=dx/x
но придется менять предела интегрирования.
Применяем тот же метод замены, но в обратном направлении
(см. приложение 2), этот метод называют "подведением под дифференциал".
Новая переменная t присутствует, но "в уме"
dx/x=d(lnx)
∫^(2)_(1) ([b]ln^2x[/b])d([b]lnx[/b])=(ln^3x/3)|^2_(1)=
=((ln2)^3-(ln1))/3=(ln2)^3/3
