Задача 26977 4.42) 2cosx-sqrt(2)sin28x =...
Условие
Решение
2сosx+2cos28x*sinx=3sqrt(2)+sqrt(2)sin28x;
2*(cosx+cos28x*sinx)=sqrt(2)(3+sin28x) (#)
Оценка правой части:
-1 меньше или равно sin28x меньше или равно 1
3-1 меньше или равно 3+sin28x меньше или равно 3+1
2sqrt(2) меньше или равно sqrt(2)*(3+sin28x) меньше или равно 4sqrt(2)
Наименьшее значение, которое принимает выражение справа 2 sqrt(2).
Покажем, что оно является наибольшим для выражения слева.
max( 2cosx+2cos28x*sinx)=2sqrt(2)
max( cosx+cos28x*sinx)=sqrt(2)
Так как
|cos28x| меньше или равно 1
cosx+cos28x*sinx меньше или равно (cosx+sinx) меньше или равно sqrt(2)*((1/sqrt(2))cosx+(1/sqrt(2))sinx) меньше или равно sgrt(2)(sin(x+(Pi/4)) меньше или равно sqrt(2).
Значит данное уравнение имеет корни лишь при условии когда левая и правая части уравнения (#) принимают значение, равное 2sqrt(2)
cosx+sinx=sqrt(2)
sin(x+(Pi/4))=1
x+(Pi/4)=(Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
x=(Pi/4)+2Pik, k ∈ Z
и
sin28x=-1
28x=(-Pi/2)+2Pin, n ∈ Z