Задача 30607 Найдите значение а, при каждом из...

vk138301193

2018-10-28 23:34:59

Найдите значение а, при каждом из которых уравнение

(x+1/(x-a))^2 - (a+9)(x+1/(x-a)) + 2a(9-a) = 0

имеет ровно четыре решения.

sova

2018-10-28 23:49:13

★

Сначала замена переменной.
x+(1/(x-a))=t
Квадратное уравнение
t^2-(a+9)t+2a*(9-a)=0
D=(a+9)^2-4*2a*(9-a)=9a^2-54a+81=9*(a^2-6a+9)=9*(a-3)^2
D>0 ⇒ уравнение имеет два корня
⇒ (a-3)^2>0 ⇒ a ≠ 3

t_(1)=((a+9)-3(a-3))/2=9-a или t_(2)=2а

Обратная замена приводит к уравнениям
1)
х +(1/(x-a))= 9-a - должно иметь два корня.
2)
х +(1/(x-a))= 2a - должно иметь два корня.
Значит дискриминант каждого уравнения положителен.
Система двух неравенств и условие a ≠ 3 приведут к ответу