Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 28900 7. В пирамиде ABCD: АВ = 1, АС = 3, AD =...

Условие

7. В пирамиде ABCD: АВ = 1, АС = 3, AD = 4, ВС = sqrt(10), BD = sqrt(17), CD = 5. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD.

математика 10-11 класс 1681

Решение

Треугольники АDС, АDB и ABC - прямоугольные, так как
CD^2=AD^2+AC^2; 5^2=4^2+3^2 - верно;
BD^2=AB^2+AD^2; (sqrt(17))^2=1^2+4^2 - верно;
BC^2=AB^+AC^2; (sqrt910))^2=1^2+3^2 - верно.

Применяем формулу ( cм. приложение)
R=3V(пирамиды ABCD)/S(полн.)

V(пирамиды)=(1/3)*S( Δ ABC)*AD=(1/3)*S( ΔABD)*AC=
=(1/3)S( ΔADC)*BD=(1/3)*(1*3*4)/2=2

S(полн.)=S( Δ ABC)+S( ΔABD)+S( ΔADC)+S( ΔBDC).

Проведем высоту АК в треугольнике АВС
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и половине произведение гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе, то
АВ*AC=AK*BC
АК=1*3/sqrt(10)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ADK:
DK^2=AD^2+AK^2=4^2+(3/sqrt(10))^2=169/10
DK=13/sqrt(10)

S(полн.)=S( Δ ABC)+S( ΔABD)+S( ΔADC)+S( ΔBDC)=
=(1/2)AB*AC+(1/2)AB*AD+(1/2)AD*AC+(1/2)*BC*DK=
=(1/2)1*3+(1/2)1*4+(1/2)4*3+(1/2)sqrt(10)*(13/sqrt(10))=
=(3/2)+2+6+(13/2)=16

R=3*2/16=3/8

О т в е т. 3/8

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК