Задача 52155 Вычислите двойной интеграл по области D,...

vk345980644

2020-06-05 11:21:31

Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями. Помгите с 6 ой

sova

2020-06-05 14:16:46

Рассматриваем область D как область горизонтального вида:

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2)) ([blue]∫ ^(2-y^2)_(0)y^2*(1+2x)dx[/blue])dy

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))([blue]y^2*(x+x^2)|^(2-y^2)_(0)[/blue])dy

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))y^2*(2-y^2+(2-y^2)^2)dy=

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))*(y^6-5y^4+6y^2)dy=

=((y^7/7)-5*(y^5/5)+6*(y^3/3))| ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))=

=(2/7)(sqrt(2))^7-2(sqrt(2))^5+(2/3)*(sqrt(2))^3=

=((16/7)-8+(4/3))*sqrt(2)=...

Второй способ

Рассматриваем область D как область вертикального вида:

= ∫^(2)_(0)( [blue]∫ ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x))y^2*(1+2x)dy[/blue])dx =

= ∫^(2)_(0)[blue] (1+2x)*(y^3/3)| ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x)) [/blue]dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*(1/3)((sqrt(2-x))^3-(-sqrt(2-x))^2)dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*2*(sqrt(2-x))^3dx=

=2 ∫^(2)_(0)(1+2x)*(2-x)*sqrt(2-x)dx=

[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(2-x)=t

2-x=t^2
x=2-t^2
dx=-2tdt

...
Решение более громоздкое, но ответ тот же...