Задача 21526 Решите неравенство log3(2-3^(-x)) <...

slava191

21 декабря 2017 г.

Решите неравенство log₃(2–3^–x) < x+1–log₃4

SOVA

21 декабря 2017 г.

★

ОДЗ:
2–3^–x > 0
2 > 3^–x
3^log₃2 > 3^–x
Показательная функция с основанием 3 возрастает.
log₃2 > –x
x > –log₃2
x > log₃(1/2)

ОДЗ (log₃(1/2); + ∞)

Так как
x+1=log₃3^x+1 при х+1 > 0

log₃(2–3^–x) < log₃3^x+1–log₃4

log₃(2–3^–x) < log₃(3^x+1/4)

3 > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2–3^–x < 3^x+1/4

Замена переменной
3^x=t
t > 0
3^–x=1/t

2–(1/t) < (3/4)t

3t²–8t+4 > 0
D=64–4·3·4=16
t=2/3 или t=2
t < (2/3) или t > 2

3^x < (2/3) или 3^x > 2
x < log₃(2/3) или x > log₃2
C учетом ОДЗ ( и log₃(1/2) < log₃(2/3))
О т в е т. (log₃(1/2); log₃(2/3) )U log₃2); + ∞) или (−log₃ 2;log₃2−1) U (log₃ 2;+∞)