Задача 21526 Решите неравенство log3(2-3^(-x)) <...
Условие
Решение
ОДЗ:
2-3^(-x) > 0
2 > 3^(-x)
3^(log_(3)2) > 3^(-x)
Показательная функция с основанием 3 возрастает.
log_(3)2 > -x
x > -log_(3)2
x > log_(3)(1/2)
ОДЗ (log_(3)(1/2); + бесконечность)
Так как
x+1=log_(3)3^(x+1) при х+1 > 0
log_(3)(2–3^(–x)) < log_(3)3^(x+1)–log_(3)4
log_(3)(2–3^(–x)) < log_(3)(3^(x+1)/4)
3 > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2–3^(–x) < 3^(x+1)/4
Замена переменной
3^x=t
t > 0
3^(-x)=1/t
2-(1/t) < (3/4)t
3t^2-8t+4 > 0
D=64-4*3*4=16
t=2/3 или t=2
t < (2/3) или t > 2
3^x < (2/3) или 3^x > 2
x < log_(3)(2/3) или x > log_(3)2
C учетом ОДЗ ( и log_(3)(1/2) < log_(3)(2/3))
О т в е т. (log_(3)(1/2); log_(3)(2/3) )U log_(3)2); + бесконечность) или (−log_(3) 2;log_(3)2−1) U (log_(3) 2;+∞)
Все решения
