Задача 8285 Решить неравенство...

ElnaraNasibullina

4 января 2016 г. в 00:00

Решить неравенство log_0,5(x+3)–log_0,5(x–3)–log_{(x–3)/(x+3)}2 < 0

Sova

4 января 2016 г. в 00:00

ОДЗ:
Система
x+3>0
x–3>0
((x–3)/(x+3))>0
((x–3)/(x+3))≠ 1

ОДЗ:х>3

Применяем формулу перехода к другому основанию.

–log₂(х+3)+log₂(х–3)–1/(log₂(x–3/x+3))<0

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
log₂(x–3/x+3)–1/(log₂(x–3/x+3))<0

Замена переменной
log₂(x–3/x+3)=t
t–(1/t) <0

(t²–1)/t <0

–––––(–1)––––(0)–––––(1)––––––

знаки : – + – +

t<–1 или 0< t < 1

Обратная замена

1) log₂(x–3)/(x+3) < –1
или
2) 0 < log₂(x–3)/(x+3)<1


1)log₂(x–3)/(x+3) < log (2)(1/2) ;
Логарифмическая функция с основанием 2>1 – возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x–3)/(x+3)<1/2

(2х–6–(х+3))/2(х+3)<0

(x–9)/2(x+3) <0

–3 < x < 9

C учетом ОДЗ:

3 < x < 9

2) log₂1 < log₂(x–3)/(x+3)< log₂2

1 < (x–3)/(x+3) < 2

Система
(х–3)/(х+3)>1
(x–3)/(x+3)<2

или
(–6)/(х+3) >0 ⇒ x+3 <0 ⇒ x < –3, не входит в ОДЗ
(–x–9)/(x+3)<0
Система не имеет решений
О т в е т. (3;9)