Задача 43306 Здравствуйте ! При решении практических...

stavros

2020-01-11 17:36:56

Здравствуйте !
При решении практических задач на тему раскрытия неопределенностей (методом Лопиталя) застрял на, как мне кажется, тривиальном моменте, но быстрого решения сам не нашел, прошу помочь, кто сможет.
Моя проблема выглядит следующим образом (см. прикрепленную картинку): N 778… 785…781…786
Спасибо за внимание !

sova

2020-01-11 23:05:33

★

778.
Неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя:

[m]=\lim_{x\to1}\frac{(1-x)`}{(1-sin\frac{\pi x}{2})`} =\lim_{x\to1}\frac{(-1)}{(-cos\frac{\pi x}{2})\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=[/m]

[m]=\lim_{x\to1}\frac{1}{(cos\frac{\pi x}{2})\cdot (\frac{\pi }{2})}=\frac{1}{0}=\infty[/m]


785
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Применяем правило Лопиталя:


[m]\lim_{x\to0}\frac{(\frac{\pi }{x})`}{(ctg\frac{\pi x}{2})`}= \lim_{x\to0}\frac{(-\frac{\pi }{x^2})}{\frac{1}{(-sin^2\frac{\pi x}{2}})\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=[/m]

[m]= \lim_{x\to0}\frac{(-\frac{\pi }{x^2})}{\frac{1}{(-sin^2\frac{\pi x}{2}})\cdot (\frac{\pi }{2})}= \lim_{x\to0}\frac{2sin^2\frac{\pi x}{2}}{x^2}=[/m]

[m]=2\lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}\cdot \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}=[/m]

[m]2\cdot \frac{\pi }{2} \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{\frac{\pi x}{2}}\cdot\frac{\pi }{2} \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}=\frac{\pi ^2}{2}[/m]