Задача 36670 ...

vk305708338

2019-05-02 17:56:58

Найти пределы функций, используя первый замечательный предел
А) lim x → pi/2
sin2x/tg4x
Б)lim x → 2
(x-2)*ctgπx
В) lim x → 0
1-cos4x/2x*tg2x
Г) lim x → 0
arcsin7x/sin4x
Д) lim x → ∝
x*sin(2/x)

sova

2019-05-03 10:29:39

★

А)
Замена переменной
x-(π/2)=t
t→0

x=(π/2)+t
sin2x=sin2*((π/2)+t)=sin(π+2t)=-sin2t
tg4x=tg4*((π/2)+t)=tg(2π+4t)=tg4t

lim_(x →(π /2))sin2x/tg4x= lim_(t →0) (-sin2t/tg4t)= lim_( t → 0)(-2t/4t)=-1/2


sin2t~2t при t→0
tg4t~4t при t→0
Б)
Замена переменной
x-2=t
t→0

x=t+2

ctg(πx)=ctgπ*(t+2)=ctg(π*t+2π)=ctg(π*t)


lim_(x → 2)(x–2)·ctg(πx) = lim_(t →0) t*ctg (π*t)= lim_(t →0) t/tg (π*t)=1/π

В) lim x → 0(1–cos4x)/(2x·tg2x)=[ формула 2sin^2(α /2)=1-cosα ]=

= lim x → 0(2sin^22x)/(2x·tg2x)=

=lim x → 0(sin2x)*(sin2x)/(x·tg2x)= lim_( x → 0)(2x*2x)/(x*2x)=2

sin2x~2x при x→0
tg2x~2x при x→0


Г) lim_( x → 0)(arcsin7x/sin4x)= lim_( x → 0)(7x/4x)=7/4

arcsin7x~7x при xt→0
sin4x~4x при x→0

Д)lim_( x → ∝ )(x·sin(2/x)lim x)=[Замена 1/x=t; x → ∞ ; t → 0]=

= lim_( t → 0)(sint/t)=1