Задача 33390 1.) исследовать с помощью элементарной...

vk148511207

9 февраля 2019 г. в 13:00

1.) исследовать с помощью элементарной математики.
1.область определения функции D(y)
2. Область изменения функции E(y)
3. Честность или нечетность функции
4.переодичность
5.нули функции
6.интервалы знака постоянства
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
9.асимптоты граф. функции
3.) исследовать с помощью производной
10.экстремумы интервала
11.выпуклость, вогнутость функции в точках переживаю
4.) построение графика функции
12.найти точку пересечения с осью OY
13.дополнительные точки (4–6)
14.в системе координат XOY построить график функции


a.) y=x³–2/3x
б.) y=4lnx/x

sova

9 февраля 2019 г. в 20:34

★

а)
y=(x³–2)/3x

1.область определения функции D(y)=(– ∞ ;0) U(0; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(–∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(–x)=((–x)³–2)/(3·(–x))=(x³+2)/(3x)

f(–x)≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)

функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность – непериодическая

5.нули функции
y=0
x³–2=0
x= ∛2

6.интервалы знака постоянства

___+__ (0) __–_ _∛2 ____+__

y > 0 при x< 0 и x > ∛2
y < 0 при 0 < x < ∛2

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_x→+∞ y =+∞
lim_{x→ – ∞}y = +∞

9.асимптоты граф. функции
y=0 – вертикальная асимптота.
других асимптот нет.


3.) исследовать с помощью производной

y`=((3x<sup>2</sup>)·3x–(3x)`·(x³–2))/(3x)²
y`=(9x<sup>3</sup>–3x<sup>3</sup>+6)/(9x<sup>2</sup>)
y`=(6x³+6)/9x²

y`=0
x³+1=0
x= – 1
_–__ (– 1) __+_₀ ___+_

Возрастает на (– 1 ; 0) и на (0; + ∞ )
Убывает на (– ∞ ; –1)

х= – 1 – точка минимума

y(–1)=((–1)³–2)/3·(–1)=1

См. рис.1

б)
y=(4lnx)/x

1.область определения функции D(y)=(0 ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(– ∞;(4/e)]
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность – непериодическая

5.нули функции
y=0
4lnx=0
x=1
(1;0) – точка пересечения с осью Ох

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >1
y < 0 при 0 < x < 1


2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_x→+∞(4lnx)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_x→+∞ 4/(x)/1=0

lim_{x→ – ∞} не рассматриваем Согласно области определения
x > 0

9.асимптоты граф. функции
y=0 – горизонтальная асимптота на + ∞
x=0 – вертикальная асимптота ( справа)

3.) исследовать с помощью производной

y`=4·((lnx)`·x–(lnx)·x`)/(x<sup>2</sup>)
y`=4·(1–lnx)/(x²)

y`=

1–lnx=0
lnx=1
x=e


(0) ___+__ (e) __–__

Возрастает на (0;e)
Убывает на (e; + ∞ )

x=e – точка максимума

y(e)=4/e

См. рис.2