Задача 34110 В правильной четырёхугольной пирамиде...

mumiya

2019-03-02 19:09:59

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямыми MO(высота пирамиды) и BE, где E - середина ребра AM.
(стереометрия)

sova

2019-03-02 20:36:30

★

Прямые МО и ВЕ - скрещивающиеся. Одна лежит в плоскости, а другая пересекает плоскость, в точке, не принадлежащей первой прямой.
Рассмотрим треугольник MAC
Проводим
EK|| MO
Угол между ВЕ и EK это и есть угол между ВЕ и МО.
Находим его из треугольника ЕКВ

Для этого сначала найдем МО из прямоугольного треугольника АМО
АМ=1
АО=(1/2)АС=sqrt(2)/2
Диагональ квадрата АС равна sqrt(2)

МО^2=AM^2-AO^2=1-(1/2)=1/2
МО=sqrt(2)/2

ЕК- средняя линия треугольника АМО
ЕК=sqrt(2)/4

ВЕ - высота равностороннего треугольника МАВ
ВЕ=sqrt(3)/2

∠ ЕКВ=90^(o), так как МО ⊥ пл. АВС, значит и ЕК ⊥ пл. АВС;
в том числе и прямой ВК.

Из прямоугольного треугольника ВКЕ:
cos ∠ BEK=EK/BE=(sqrt(2)/4):sqrt(3)/2=sqrt(6)/6

∠ BEK=arccos(sqrt(6)/6)- о т в е т.