Задача 15631 Две параллельные касательные к графику...

vk76022237

09.05.2017

Две параллельные касательные к графику функции у=1/x+2 пересекают оси координат: первая в точках А и В, вторая - в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что она в четыре раза меньше площади треугольника COD.

SOVA

09.05.2017

Пусть А(a;0) B(0;b)
Уравнение прямой АВ:
(х/а)+(y/b)=1;
bx+ay=ab
y=(-b/a)x + b
k( касательной АВ)=-b/a

Пусть С(с;0) D(0;d)
Уравнение прямой CD:
(х/c)+(y/d)=1;
dx+cy=cd
y=(-d/c)x +d
k( касательной CD)=-d/c

Касательные параллельны, значит
угловые коэффициенты этих касательных равны.
-b/a=-d/c
ad=cb

S( Δ AOB)=(1/2)*a*b
S( Δ COD)=(1/2)*c*d
По условию
S( Δ AOB) в 4 раза меньше S( Δ COD)
4*(1/2)*a*b=(1/2)*c*d
4ab=cd.

Пусть касательная АВ касается кривой в точке
(х_(о);у_(о))

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k ( касательной)

f`(x)=-1/(x^2)
-b/a=-1/(x_(o))^2
(x_(o))^2=a/b

точка (х_(о);у_(о)) принадлежит как касательной АВ, так и кривой у=(1/х)+2

(1/х_(о))+2=(-b/a)*x_(o)+b
и
(x_(o))^2=a/b

Из трех условий наверное получится найти ab/2=S( АВС)