Задача 44285 Найдите наименьшее значение функции [m]у...

slava191

2020-02-15 17:50:11

Найдите наименьшее значение функции [m]у = \frac{x^3+x^2+9}{x}-x^2[/m] на отрезке [1;10]

sova

2020-02-15 17:56:30

★

x ≠ 0

[m]y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{x}+\frac{9}{x}-x^2[/m]

[m]y=x^2+x+\frac{9}{x}-x^2[/m]

[m]y=x+\frac{9}{x}[/m]

[m]y`=1-\frac{9}{x^2}[/m]

y`=0

[m]1=\frac{9}{x^2}[/m]

x^2=9

x= ± 3 - точки возможного экстремума

Отрезку [1;10] принадлежит только х=3

Применяем достаточные условия точки экстремума

Исследуем знак производной:
[1] __-__ (3) ______+________[10]
x=3 - точка минимума функции, так как производная меняет знак
с - на +

Так как x=3 единственная точка экстремума на отрезке, то в этой точке функция принимает наименьшее значение

[m]y=3+\frac{9}{3}=6[/m] - наименьшее значение функции на отрезке
[1;10]

О т в е т. [b]6[/b]