Задача 44227 ...

vk182001667

14 февраля 2020 г. в 09:58

Решить неравенство √log₃x+2√log_x3 ≥ 3

sova

14 февраля 2020 г. в 12:33

ОДЗ:

{x>0;x ≠ 1
{log₃x >0 ⇒ x > 1

x ∈ (1;+ ∞ )

В условиях ОДЗ

[m]log_{x}3=\frac{1}{log_{3}x}[/m]


Поэтому неравенство принимает вид:

[m]\sqrt{log_{3}x}+2\cdot \sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}\geq 3[/m]

Замена переменной:

[m]\sqrt{log_{3}x}=t;[/m]

t >0

[m]\sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}=\frac{1}{t}[/m]


[m]t+\frac{2}{t}\geq 3[/m]

[m]\frac{t^2-3t+2}{t}\geq 0[/m]

t>0

t²–3t+2 ≥ 0

D=9–8=1

t₁=1; t₂=2

t ≤ 1 или t ≥ 2

__+__ [1] ____ [2] __+__


Обратная замена:

[m]\sqrt{log_{3}x}[/m] ≤ 1 или [m] \sqrt{log_{3}x}[/m] ≥ 2


[m]log_{3}x[/m] ≤ 1 или [m] log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]log_{3}x ≤ log_{3}3[/m] или [m] log_{3}x ≥ log_{3}81[/m]

Так как логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастает и
с учетом ОДЗ получаем

[m]1 < x ≤ 3 [/m] или [m] x ≥ 81[/m]

О т в е т. (1;3] U [81;+ ∞ )