Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 44227 ...

Условие

Решить неравенство sqrt(log3x)+2sqrt(log(x)3) ≥ 3

математика 10-11 класс 1125

Все решения

[red]ОДЗ:[/red]

{x>0;x ≠ 1
{log_(3)x >0 ⇒ x > 1

[red]x ∈ (1;+ ∞ )[/red]

В условиях ОДЗ

[m]log_{x}3=\frac{1}{log_{3}x}[/m]


Поэтому неравенство принимает вид:

[m]\sqrt{log_{3}x}+2\cdot \sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}\geq 3[/m]

Замена переменной:

[m]\sqrt{log_{3}x}=t;[/m]

t >0

[m]\sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}=\frac{1}{t}[/m]


[m]t+\frac{2}{t}\geq 3[/m]

[m]\frac{t^2-3t+2}{t}\geq 0[/m]

t>0

t^2-3t+2 ≥ 0

D=9-8=1

t_(1)=1; t_(2)=2

t ≤ 1 или t ≥ 2

__+__ [1] ____ [2] __+__


[b]Обратная замена[/b]:

[m]\sqrt{log_{3}x}[/m] ≤ 1 или [m] \sqrt{log_{3}x}[/m] ≥ 2


[m]log_{3}x[/m] ≤ 1 или [m] log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]log_{3}x ≤ log_{3}3[/m] или [m] log_{3}x ≥ log_{3}81[/m]

Так как логарифмическая функция с основанием 3 > 1 [i]возрастает[/i] и
с учетом[red] ОДЗ[/red] получаем

[m]1 < x ≤ 3 [/m] или [m] x ≥ 81[/m]

О т в е т. [b](1;3] U [81;+ ∞ )[/b]

Написать комментарий