Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 44591 sinx+sqrt((3/2)(1-cosx)) = 0, [-13Pi/2;...

Условие

sinx+sqrt((3/2)(1-cosx)) = 0, [-13Pi/2; -5Pi] (в8-13)

математика 10-11 класс 18667

Решение

[m]1-cosx=2sin^{2}\frac{x}{2}[/m]


[m]sinx+\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 2sin^{2}\frac{x}{2}}=0[/m]

[m]sinx+\sqrt{3}|sin\frac{x}{2}|=0[/m]

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot |sin\frac{x}{2}|=0[/m]

Раскрываем знак модуля:
1)
[m]sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] ⇒ [m] 0+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ π+2πm, m ∈ Z ⇒ 4πm ≤ x ≤ 2π+4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=sin\frac{x}{2}[/m]
уравнение примет вид:

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3})=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}=0[/m] ⇒ [m] \frac{x}{2}=πk, k ∈ Z [/m]⇒

[red]x=2πk, k ∈ Z [/red]

или

[m]2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0[/m] ⇒ [m] cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]\frac{x}{2}= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ Z[/m] ⇒[m] x= ± \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m]

Условию [m] sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] удовлетворяют корни:

[red][m] x= \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m][/red]


2)
[m]sin\frac{x}{2} <0 ⇒ -π+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ 2πm, m ∈ Z
⇒[/m]
[m]-2π+ 4πm ≤ x ≤4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=- sin\frac{x}{2}[/m]

уравнение принимает вид:

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3})=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}<0[/m] ⇒

[m]2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0 ⇒ cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]\frac{x}{2}= ± \frac{π}{6}+2πn, ⇒ ± \frac{π}{3}+4πn, n ∈ Z [/m]

Условию [m]sin\frac{x}{2} < 0[/m] удовлетворяют корни:

[red][m] x= - \frac{π}{3}+4πk, k ∈ Z[/m]
[/red]


[red][m]- \frac{π}{3}+4πn, \frac{5π}{3}+4πn[/m]
[/red]
можно объединить в ответ:

[m] - \frac{π}{3}+2πn [/m]
О т в е т.
a)
[red][m] 2πk[/m] [/red]


[red][m] - \frac{π}{3}+2πn [/m][/red]
[red][m] n, k ∈ Z[/m] [/red]

б)

Удобнее всего отобрать корни на графике [m]y=sin\frac{x}{2}[/m]
(cм. рис.)

из серии [m] - \frac{π}{3}+4πn [/m] [i]ни один корень[/i] не принадлежит отрезку
из серии [m] \frac{5π}{3}+4πn[/m] [i]один [/i]


[m]\frac{5π}{3}-8π=-19\frac{π}{3}[/m]

так как
[m]-\frac{13π}{2} < -\frac{19π}{3}<-6π[/m] ( умножаем на 6)

[m]-39π<-38π<-36π[/m] - верно


и
[b]-6π[/b]

О т в е т. б)Указанному интервалу принадлежат корни:[b]-\frac{19π}{3}[/b];
[b]-6π[/b]

Все решения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК