Задача 41970 ...

vk265364584

27 ноября 2019 г. в 14:51

Найдите решение задачи Коши

x√4+y² dx + y√1+x² dy=0.

sova

27 ноября 2019 г. в 17:14

★

x·√4+y²dx=–y·√1+x² – уравнение с разделяющимися переменными.

Делим обе части уравнения на

√4+y²·√1+x²

[m]\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

Интегрируем:

[m]\int \frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]


Умножаем на 2:

[m]\int \frac{2xdx}{\sqrt{1+x^2}}=-\int \frac{-2ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

d(1+x²)=(1+x²)`·dx=2xdx

Поэтому

2xdx=d(1+x²)

Аналогично

2ydy=d(1+y²)

[m]\int (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1+x^2)=-\int (4+y^2)^{-\frac{1}{2}}d(4+y^2)[/m]


По формуле

[m]∫ u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c[/m]

получаем:

[m]\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c =-\frac{(4+y^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} [/m]

2√1+x²+c=–2√4+y²

√1+x²+√4+y²=C ( C=–c/2)

О т в е т. √1+x²+√4+y²=C – общее решение дифференциального уравнения.

Задачи Коши нет, так как нет условий

y(x_o)=?