Задача 46984 Помогите решить Решить однородное...

vk492803606

13 апреля 2020 г. в 21:05

Помогите решить Решить однородное дифференциальное уравнение

sova

14 апреля 2020 г. в 00:20

★

Это уравнение не является однородным.

Однородное – правая часть функция от дроби (y/x) или (x/y)

Если справа почленно поделить на х

получим

y`=(y/x)+x

y`–(1/x)·y=x

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`–(1/x)·u·v=x

Сгруппируем:

u`·v+u(v`–(1/x)·v)=2x³

Выбираем функцию v так,чтобы
v`–(1/x)·v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`–(1/x)·v=0 ⇒ dv/v=1dx/x ⇒ ∫ dv/v=∫ dx/x ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ v=x

Тогда данное уравнение принимает вид

u`·v+u·0=2x³

u`·x=x

u`=1

u=x+C

y=u·v=(x+C)·x

y=x²+Cx