Задача 12953 Сфера касается граней двугранного угла в...

i.boian

16.01.2017

Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

SOVA

16.01.2017

★

Центр сферы лежит на биссектральной плоскости двугранного угла ( как в планиметрии на биссектрисе угла см. рис.)
По теореме Пифагора
r^2=a^2-(a/2)^2
r=asqrt(3)/2
Расстояние между точками касания найдем по теореме косинусов:
d^2=r^2+r^2-2*r*r*cos60 градусов=

=r^2+r^2-r^2sqrt(3)=(3/4)+(3/4)-(3/4)*sqrt(3).

d=sqrt(6-3sqrt(3))/(2)
О т в е т. r=sqrt(3)/2; d=sqrt(6-3sqrt(3))/(2)