Задача 44089 Основанием пирамиды SABCD является...

slava191

8 февраля 2020 г. в 21:56

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP:PQ=1:3

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.

sova

9 февраля 2020 г. в 14:05

★

В основании пирамиды прямоугольник.
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам

АО=ВО=СО=DO

SO ⊥ пл. АВСD

АО – проекция SA.

Значит SA=SB=SC=SD ( равные проекции имеют равные наклонные)

a) Δ SAB – равнобедренный (SA=SB)

По условию AP ⊥ SB

Проведем SF ⊥ АВ.

Пусть АВ=x

AF=FB=x/2

Δ SFB ∼ APB ( они прямоугольные и ∠ B – общий )

Из подобия пропорциональность сторон:

ВР: AF=AB:SA ⇔ BP=x²/(2SA)

Аналогично,

Δ SBС – равнобедренный (SВ=SС)

По условию СQ ⊥ SB

Проведем SК ⊥ ВС.

Пусть ВС=2АВ=2x

ВК=КС=x

Δ SKB ∼ CQB ( они прямоугольные и ∠ B – общий )


Из подобия пропорциональность сторон:

ВQ: BK=BC:SB ⇔ BQ=2x²/(SB)

SA=SB

BP:BQ=1:4 ⇒ BP:PQ=1:3

О т в е т. a) BP:PQ=1:3

б)

В треугольнике SBC проведем
PM || CQ

CQ ⊥ SB ⇒ PM ⊥ SB

∠ APM – линейный угол двугранного угла при ребре SB

Найдем его из треугольника АРМ.

Для этого найдем стороны треугольника АРМ.


По условию б) SB=BC

ВС=2х, SB=2x

Δ SBC – равносторонний, высота CQ – медиана

BQ=QS=x

CQ=2x√3/2=x√3
(высота равностороннего треугольника со стороной а равна a·√3/2 )

Δ ВМР ∼ ВQC (PM || CQ)

BP: BQ=BM:BC

BP:BQ=1:4 ⇒ BM[/b]=BC/4=x/2


PM=CQ/4=x√3/4


Из прямоугольного Δ АВМ:

АМ²=AB²+BM²=x²+(x²/4)=5x²/4

AM=x·√5/2


Из прямоугольного Δ АРВ ( АВ=х; BP=(1/4)BQ=x/4)

АР²=AB²–BP²=x²–(x/4)²=15x²/16

AP=x√15/4



Итак, по теореме косинусов из Δ АРМ

сos ∠ APM=(AP²+PM²–AM²)/(2·AP·PM)

AP=x√15/4

PM=x√3/4

AM=x·√5/2

сos ∠ APM=–√5/15


∠ APM=arccos(–√5/15)