Задача 37389 ...

mugota

2019-05-21 13:36:41

xy'＝ sqrt(x^(2)＋y^(2))＋y ,y(1)＝1

sova

2019-05-21 14:09:57

y`=sqrt(x^2+y^2)/x+(y/x)

y`=sqrt(1+(y/x)^2) + (y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как х - независимая переменная)

u+x*u`=sqrt(1+u^2)+u

x*u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

xdu/dx=sqrt(1+u^2)

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnС

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=ln|x|+lnC

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=lnC*|x|

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=C*|x|

y+sqrt(x^2+y^2)=C*x^2- общее решение.

Так как

y(1)=1

1+sqrt(1^2+1^2)=C*1^2

С=1+sqrt(2)

y+sqrt(x^2+y^2)=(1+sqrt(2))*x^2- частное решение.