Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11310 Решите показательные уравнения: k)...

Условие

Решите показательные уравнения:

k) 3^x+4^x=5^x
e) 4^(tg^2x)+8=3*2^(1/cos^2x)
г) 3^(2x+1)+3^(1-2x)-7(3^x+3^(-x))=4

математика 10-11 класс 2086

Решение

к) x=2
3^2+4^2=5^2,
других корней уравнение не имеет.
График функции y=3^x+4^x при x < 2 ниже графика функции у=5^x.
График функции y=3^x+4^x при x > 2 выше графика функции у=5^x.
О т в е т. х=2
е) ОДЗ:cosx≠0

tg^2x=(1/cos^2x)-1
Замена переменной
2^(1/cos^2x)=t
4^(1/cos^2x)=t^2
Уравнение принимает вид:
(t^2/4)+8-3t=0;
t^2-12t+32=0
D=(-12)^2-4*1*32)=144-128=16
t=(12-4)/2=4 или (12+4)/2=8
2^(1/cos^2x)=2^2 или 2^(1/cos^x)=2^3
cos^2x=1/2 или cos^2x=1/3
cosx=sqrt(2)/2
cosx=-sqrt(2)/2
cosx=(-sqrt(3)/3)
cosx=sqrt(3)/3
О т в е т. ±(π/4)+2πk, k∈ Z
±(3π/4)+2πn, n∈ Z
±(arcsin(sqrt(3)/3)+2πm, m∈ Z
±(π-arcsin(sqrt(3)/3) )+2πp, p∈ Z.
г)
Замена переменной:
3x+3–x=t
Возводим в квадрат
32x+2+3–2x=t2
32x+3–2x=t2–2
3·(32x+3–2x)=3t2–6
32x+1+31–2x)=3t2–6
Уравнение принимает вид
3t2–6–7t=4
3t2–7t–10=0
D=49+120=169
t=(7–13)/6=–1 или t=(7+13)/6=10/3

Возвращаемся к переменой х:
3x+3–x=–1
Уравнение не имеет корней, так как показательная функция принимает только положительные значения,
3x > 0 и 3–x=(1/3)x > 0

3x+3–x=10/3
Замена переменной
3x=u
3–x=1/u
u+(1/u)=10/3
3u2–10u+3=0
D=100–36=64
u=(10–8)/6=1/3 или u=(10+8)/6=3
3x=1/3 или 3x=3
x=–1 или х=1
О т в е т. –1; 1

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК