Задача 34098 Найдите все значения a, при каждом из...

vk235816663

2019-03-02 13:02:26

Найдите все значения a, при каждом из которых система

system{|2x^2+y^2-1|+y^2+4y = 0; y=0,5x+a}

имеет два или три корня.

sova

2019-03-03 10:15:58

Раскрываем модуль по определению
1)
если 2x^2+y^2-1 ≥ 0, то |2x^2+y^2-1|=2x^2+y^2-1;
получаем систему:
{2x^2+y^2-1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a

{2x^2+2y^2+4y-1=0
{y=0,5x+a
Решаем способом подстановки:
2x^2+(0,5x-a)^2+4*(0,5x-a)-1=0

2x^2+(1/4)x^2-ax+a^2+2x-4a-1=0;
(9/4)x^2+(2-a)x+a^2-4a-1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=(2-a)^2-4*(9/4)*(a^2-4a-1)=4-4a+a^2-9a^2+36a+9=-8a^2+32a+13
D=0
-8a^2+32a-13=0
8a^2-32a+13=0
D_(1)=(32)^2-4*8*13=32*(32-13)=32*19
a_(1)=(32-4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)
a_(2)=(32+4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)

Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 ≥ 0,

2)
если 2x^2+y^2-1 < 0, то |2x^2+y^2-1|=-2x^2-y^2+1;
получаем систему:
{-2x^2-y^2+1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a


{-2x^2+4y-1=0
{y=0,5x+a

Решаем способом подстановки:
-2x^2+4*(0,5x-a)-1=0
2x^2-4*(0,5x-a)+1=0
2x^2-2x+4a+1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=4-4*2(4a+1)=-32а-4
D=0
a=-1/8
D>0
a<-1/8


Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 < 0