Задача 32494 ...

bellaktrissa

2018-12-28 20:09:27

В треугольнике ABC с углом 120◦ при вершине A проведены биссектрисы BB1 и CC1, P и Q —основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BB1 и CC1.
а) Докажите, что ∠PAQ =30◦.
б) Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой между лучами AP и AQ, если AP =6, AQ =8.

sova

2018-12-30 23:25:22

∠ A=120^(o) ⇒ ∠ B+ ∠ C=60^(o)
Биссектрисы ВВ_(1) и СС_(1) делят углы ∠ B и ∠ С пополам.
Значит,
∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB=(1/2)*60^(o)=30^(o)

Пусть М- точка пересечения ВВ_(1) и СС_(1)

∠ ВМС=180^(o)- (∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB)=150^(o)
∠ С_(1)МВ_(1)=∠ ВМС=150^(o) - вертикальные углы.

В четырехугольнике АQMP
∠АQM= ∠ АРМ=90^(o)
∠ QMP=∠ С_(1)МВ_(1)=150^(o)
Значит,
∠ РАQ=30^(o)

б)
Продолжим прямые АР и АQ до пересечения с ВС.
Получим точки К и Т.

В Δ ВАК прямая ВВ_(1) - биисектриса и высота, значит ВВ_(1) и медиана.
АР=РК=6
АК=12
Аналогично, АТ=2AQ=16

S( Δ ТАК)=(1/2)*АТ*АК*sin ∠ КАТ=(1/2)*16*12*(1/2)=48