Задача 47160 Найти радиус и интервал сходимости ряда;...

ilya422

15 апреля 2020 г. в 11:05

Найти радиус и интервал сходимости ряда; уточнить сходимость на
концах интервала

sova

15 апреля 2020 г. в 12:34

★

∑ (–1)ⁿ·a_n(x+7)ⁿ⁺¹

a_n=tg(11/4^n)

Ряд из модулей:

∑ a_n(x+7)ⁿ⁺¹ – степенной ряд

R=lim_{n → ∞} a_n/a_n+1=lim_{n → ∞} tg(11/4ⁿ)/tg(11/4ⁿ⁺¹)=4

( применили следствие из первого замечательного предела: tgx~x при x → 0)
tg (11/4^n )~(11/4ⁿ) при n → ∞

tg (11/4ⁿ⁺¹ )~(11/4ⁿ⁺¹) при n → ∞
(11/4ⁿ) : (11/4ⁿ⁺¹)=4

Степенной ряд ∑ a_nxⁿ имеет радиус сходимости R
т.е сходится в интервале (–R;R)

Cтепенной ряд ∑ a_n(x–x_o)ⁿимеет радиус сходимости R
т.е сходится в интервале (x_o–R;x_o+R)

В задаче
R= 4
x_o=–7

(–7–4; –7+4)=(–11;:–3)– интервал сходимости