Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 28928 4.3.83) На гиперболе х^2-у^2 = 1 найти...

Условие

4.3.83) На гиперболе х^2-у^2 = 1 найти точку, фокальные радиусы
которой перпендикулярны

математика 10-11 класс 4038

Решение

Канонический вид гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:[/b]

[b]y=(±b/a)x[/b]

[b]Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)
b^2=c^2-a^2[/b]

В условиях задачи:
a=1; b=1
c^2=a62+b^2=1+1=2
c=sqrt(2)
F_(1)(-sqrt(2);0) ; F_(2)(sqrt(2);0)

Пусть M(x;y) - произвольная точка на гиперболе.
F_(1)M ⊥ F_(2)M
Значит, скалярное произведение векторов
vector{F_(1)M}* vector{F_(1)M} =0

vector{F_(1)M}=(x+sqrt(2);y-0);
vector{F_(2)M}=(x-sqrt(2);y-0);

vector{F_(1)M}* vector{F_(1)M}=
=(x-sqrt(2))*(x+sqrt(2))+y*y=
=x^2-2+y^2

Так как для точек, лежащих на гиперболе
x^2-y^2=1 ⇒ y^2=x^2-1

x^2-2+(x^2-1)=0
2x^2=3
x^2=3/2

x_(1)=-sqrt(3/2) или x_(2)=sqrt(3/2)
y^2=x^2-1=(3/2)-1=1/2
Получаем 4 точки
M_(1)(-sqrt(3/2);-sqrt(1/2));
M_(2)(-sqrt(3/2);sqrt(1/2));
M_(3)(sqrt(3/2);-sqrt(1/2));
M_(4)(sqrt(3/2);sqrt(1/2));

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК