Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29132 Помогите решить 6 дифферинциалов...

Условие

Помогите решить 6 дифферинциалов

математика ВУЗ 1028

Решение

1) Это уравнение с разделяющимися переменными.
sqrt(1+y^2)*xdx=-y(4+x^2)dy
Делим обе части уравнения на
sqrt(1+y^2)*(4+x^2)
xdx/(4+x^2) = -ydy/sqrt(1+y^2)
Интегрируем
∫ xdx/(4+x^2) = - ∫ ydy/sqrt(1+y^2)
(1/2) ∫ d(4+x^2)/(4+x^2) = - (1/2)∫ (1+y^2)^(-1/2)d(1+y^2)
(1/2)ln(4+x^2) = (-1/2)*2sqrt(1+y^2) +c
ln(4+x^2)=-2sqrt(1+y^2) +C - о т в е т.
2)Делим уравнение на х*dx
Заменим dy/dx=y`
y`=1+2*(y/x) (#1)
Замена
u=y/x
y=u*x
y`=u`*x+u*x`=u`*x+u ( x`=1, x - независимая переменная)

Подставляем в (#1)
u`*x+u=1+2u;
u`*x=1+u - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x*(du/dx)=(1+u)
du/(1+u)=dx/x
Интегрируем
ln|1+u|=ln|x|+lnC
1+u=Cx
1+(y/x)=Cx - о т в е т.
3)Делим на х
y`-(2/x)*y=2x^3 (#2)
Линейное уравнение первого порядка.
Решаем однородное
y`-(2/x)*y=0 - это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируем
∫dy/y= 2∫dx/x
ln|y|=2ln|x|+lnC
y=Cx^2

Применяем метод вариации произвольной постоянной.
Полагаем , что константа С зависит от переменной х: С(x)
y=C(x)*x^2
y`=C`(x)*x^2+2*C(x)*x
Подставляем в уравнение (#2)
C`(x)*x^2+2*C(x)*x -2*(C(x)*x^2/x)=2x^3
C`(x)=2x
C(x)= ∫ 2xdx=x^2+C
y=(x^2+C)*x^2
y=Cx^2+x^4 - общее решение
Учитывая условие
y(1)=1
1=C*1^2+1^4
C=0
y=x^4- частное решение задачи Коши.
о т в е т. y=Cx^2+x^4; y=x^4
4) Понижаем степень
y`=p
y``=p`
p`*(x^2+1)=2x*p
Разделяем переменные
dp/p=2xdx/(x^2+1)
lnp=ln|x^2+1|+lnC_(1)
p=C_(1)(x^2+1)

y`=C_(1)(x^2+1)
y= ∫ C_(1)(x^2+1)dx=C_(1)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2)
y=C_(1)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2) - о т в е т.
5)
Решаем однородное
y``+6y`+5y=0
Составляем характеристическое
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
y_(одн.)=С_(1)*e^(-5x)+C_(2)*e^(-x)
Частное решение находим в виде, похожем на правую часть.
y_(част)=Аx^2+Bx+C
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2A

Подставляем в данное уравнение
2А+6*(2Ах+В)+5*(Ax^2+Bx+C)=25x^2-42
5Аx^2+(12A+5B)*x+(2A+6B+5C)=25x^2-42
{5A=25 ⇒ A=5
{12A+5B=0⇒ B=-12
{2A+6B+5C=-42 ⇒ 2*5+6*(-12)+5C=-42⇒C=4
О т в е т. y=y_(одн)+у_(част)=С_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)+5x^2-12x+4

6)
Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x

Правая часть f(x) =27/(3cos3x) немного непонятна.
Во-первых 27 и 3 сокращаются.
В условии обычно такого не бывает.
Вольфрам выдает частное решение
9x*sin3x+3cos3xlncos3x

Можно и нужно применять метод вариации произвольных постоянных
y=C_(1)(x)*cos3x+C_(2)(x)*sin3x
Находим
y`
y``
Подставляем в данное уравнение
и находим C_(1)(x) и С_(2)(х)
Мне считать не хочется, потому как не уверена в правильности условия.
Считайте.

Написать комментарий