Задача 30282 Задание 2. Найти функцию обратную данной...

vk344135258

17 октября 2018 г. в 16:25

Задание 2. Найти функцию обратную данной y = y(x). Указать область определения прямой и обратной функций.

sova

17 октября 2018 г. в 17:20

★

5a)
Область определения
(– ∞ ;4)U(4;+ ∞ )
Функция монотонно возрастает на (– ∞ ;4) и на (4;+ ∞ ),
ее графиком является гипербола
Значит каждое свое значение функция принимает только один раз . Поэтому обратима ( каждому х свой у и обратно каждому у свой х)

Меняем х и у местами
x=(4+y)/(4–y) ⇒
4x–xy=4+y
4x–4=xy+y
4x–4=y·(x+1)
y=(4x–4)/(x+1) – обратная
Область определения:
(– ∞ ;–1)U(–1;+ ∞ )


5б)
Область определения:
(– ∞ ;–√3)U(–√3;√3)U(√3;+ ∞ )

функция монотонна на ( см график красного цвета )
на (– ∞ ;–√3)U(–√3;0)
и
на [0;√3)U(√3;+ ∞ )

Меняем x и y местами
x=(3+y²)/(3–y²)
3x–xy²=3+y²
3x–3=y²·(x+1)

y²=(3x–3)/(x+1) – обратная к данной.

Состоит из двух ветвей ( cм график синего цвета)

y= – √(3x–3)/(x+1) и y=√(3x–3)/(x+1)

Область определения определяется неравенством
(3x–3)/(x–1) ≥ 0 ⇒ x ∈ (– ∞ ;–1) U(1;+ ∞ )

Синяя кривая вообще говоря не является графиком функции, потому что одному и тому же х ( например, х=5) cоответствует два у.
Поэтому за обратную функцию берут либо
y= – √(3x–3)/(x+1)
(та часть кривой, которая на графике ниже оси Ох)
либо
y=√(3x–3)/(x+1)
(та часть кривой, которая на графике выше оси Ох)