Задача 47394 Исследовать непрерывность функций:...
Условие
Все решения
Область определения (- ∞ ;-2) U(-2;+ ∞ )
На (- ∞ ;-2) и на (-2;+ ∞ ) функция непрерывна как частное непрерывных функций
Исследуем точку x=-2
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -2-0)f(x)=lim_(x → -2-0)(x-1)/(x+2)=(-2-0-1)/(-2-0+2)=+ ∞
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -2+0)f(x)=lim_(x → -2+0)(x-1)/(x+2)=(-2+0-1)/(-2+0+2)=- ∞
x=-2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
(один или оба односторонних предела -[i] бесконечные[/i])
б)
x ≠ 1
e^(|x|/(x-1))=1 ⇒ |x|/(x-1) ≠ 0⇒ |x| ≠ 0⇒ x ≠ 0
Область определения (- ∞ ;0) U(0;1)U(1;+ ∞ )
На (- ∞ ;0) и на (0;1) и на (1;+ ∞ )функция непрерывна как композиция непрерывных функций
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1
х=0
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)y=+∞
(x=-0,0001 и считайте... e^(-0,0000) < 1, знаменатель маленькое
положит, 1/+0=+∞)
Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)y=+∞
x=0 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
(один или оба односторонних предела -[i] бесконечные[/i])
х=1
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → -0)y=1/(1-e^(-∞))=1
|x|/(x-1) →- ∞ ( см. рис.2)
e^(|x|/(x-1)) → e^(- ∞ ) → 0
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1+0)f(x)=lim_(x → 2+0)y=1/(1-e^(+∞))=-0
|x|/(x-1) →+ ∞ ( см. рис.2)
e^(|x|/(x-1)) → e^(+ ∞ ) →+ ∞ , 1-(+ ∞ )= - ∞ ⇒ 1/(- ∞ )=-0 ( см на рис. 3 график под осью Ох) стремится к 0, оставаясь отрицательным.
Это все и нужно для того, чтобы правильно изобразить график
[b]предел слева ≠ пределу справа[/b]
х=1 -[i] точка разрыва первого рода[/i]
Функция имеет [i]конечный скачок[/i] в точке
