Задача 42899 Найти радиус сходимости...

dasha288

19 декабря 2019 г. в 20:28

Найти радиус сходимости

sova

19 декабря 2019 г. в 21:29

★

Ряд имеет вид:
∑ a_n·(x+2)^n,

где

a_n=1/(n+4)

тогда
a_n+1=1/((n+1)4)=1/(n+5)


R=lim_{n → ∞} ((a_n/a_n+1)|=lim_{n → ∞} (n+5)/(n+4)=1

Из неравенства

|x+2| < 1 получаем

–1 < x+2 < 1

–3 < x < –1

(–3; –1) – интервал сходимости ряда

Чтобы найти область сходимости, нужно проверить как будет вести себя ряд на концах этого интервала

При x=–3

∑ (–1)^n/(n+4) – знакочередующийся числовой ряд, который сходится по признаку Лейбница


При x=–1

∑ 1/(n+4) – знакоположительный числовой ряд, который
расходится как гармонический.

Поэтому
[–3;1) – область сходимости ряда