Задача 36138 Помогите решить систему...

ladykaramel

2019-04-21 10:06:43

Помогите решить систему уравнений
x^(x+y) = y^(12)
y^(x+y) = x^3

sova

2019-04-21 12:48:46

★

Логарифмируем, считая что это возможно, т.е накладываем ограничения на основания, которые потом можно снять

lgx^(x+y)=lgy^12 ⇒ (x+y)lgx=12lgy ⇒ x+y=12lgy/lgx
lgy^(x+y)=lgx^3 ⇒ (x+y)lgy=3lgx ⇒ x+y=3lgx/lgy

12lgy/lgx=3lgx/lgy

12lg^2y=3lg^2x
4lg^2y=lg^2x

2lgy=lgx или -2lgy=lgx

x=y^2 или x=1/y^2

Подставляем в любое уравнение данной системы
например, в первое

(y^2)^(y^2+y)=y^(12) ⇒ y^(2y^2+2y)=y^(12) ⇒ [b] 2y^2+2y=12[/b]
или
(1/y^2)^((1/y^2)+y)=y^(12) ⇒ y^(-2/y^2)-2y)=y^(12) ⇒ [b] (-2/y^2)-2y=12[/b]

теперь найти корни не составит труда