Задача 26856 Все на картинке...
Условие
Все решения
Представим дробь, записанную под интегралом в виде суммы двух дробей
(A/(x+2)) и (Mx+N)/(x^2+1)
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
х=А*(x^2+1)+(Mx+N)*(x+2)
x=Аx^2+A+Mx^2+Nx+2Mx+2N
x=(A+M)x^2+(2M+N)x+(A+2N)
Два многочлена ( слева х) равны если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях
Слева многочлен 0*x^2+1*x+0
0 = A + M ⇒ А= - М
1= 2M + N
0= A + 2N ⇒ А = - 2N
M=2N
и подставляем в
1=2M + N
1=2*2N+N
5N=1
N=1/5
M=2N=2/5
A=-2N=-2/5
∫ xdx/((x+2)*(x^2+1))= (-2/5)∫ dx/(x+2) +(1/5) ∫ (2x+1)dx/(x^2+1)=
=(-2/5)∫ d(x+2)/(x+2) + (1/5))∫ d(x^2+1)/(x^2+1)+(1/5)∫dx/(x^2+1)=
=(-2/5)ln|x+2|+(1/5)ln|x^2+1|+(1/5)arctgx+C