Задача 26856 ...

u942517632

27 апреля 2018 г.

∫ (x dx) / (x² + 1) (x + 2)

SOVA

27 апреля 2018 г.

Применяем метод неопределенных коэффициентов.
Представим дробь, записанную под интегралом в виде суммы двух дробей
(A/(x+2)) и (Mx+N)/(x²+1)
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
х=А·(x²+1)+(Mx+N)·(x+2)
x=Аx²+A+Mx²+Nx+2Mx+2N
x=(A+M)x²+(2M+N)x+(A+2N)
Два многочлена ( слева х) равны если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях
Слева многочлен 0·x²+1·x+0

0 = A + M ⇒ А= – М
1= 2M + N
0= A + 2N ⇒ А = – 2N
M=2N
и подставляем в
1=2M + N
1=2·2N+N
5N=1
N=1/5
M=2N=2/5
A=–2N=–2/5

∫ xdx/((x+2)·(x²+1))= (–2/5)∫ dx/(x+2) +(1/5) ∫ (2x+1)dx/(x²+1)=

=(–2/5)∫ d(x+2)/(x+2) + (1/5))∫ d(x²+1)/(x²+1)+(1/5)∫dx/(x²+1)=

=(–2/5)ln|x+2|+(1/5)ln|x²+1|+(1/5)arctgx+C