Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 22417 9.3.137) Найти длину дуги спирали...

Условие

9.3.137) Найти длину дуги спирали Архимеда r=2phi, находящейся внутри окружности r=2Pi.

математика ВУЗ 6213

Решение

Найдем точку персечения
2phi=2PI
phi=Pi

Внутри окружности r=2π находится половина первого витка спирали Архимеда при изменении
phi от 0 до Pi
Применяем формулу вычисления длины дуги в полярных координатах
L= ∫^(бета)_(альфа) sqrt(r^2+(r`)^2)d phi

r`=2

L= ∫^(Pi)_(0) sqrt(4(phi)^2+4)d phi=

=2 ∫^(Pi)_(0) sqrt((phi)^2+1)d phi=

( формула ∫ sqrt(1+x^2)dx=(x/2)sqrt(1+x^2)+(1/2)ln|x+sqrt(1+x^2)|+C)

=(phi*sqrt(1+(phi)^2)+ln|phi+sqrt(1+(phi)^2)|)|^(Pi)_(0)=

=Pisqrt(1+(Pi)^2)+ln|Pi+sqrt(1+(Pi)^2)|

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК