Задача 52965 ...
Условие
Все решения
Применяем правила:
производная суммы равна сумме производных
[m] y`=(11tgx)`+(-11x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
постоянный множитель можно вынести за знак производной:
[m] y`=11(tgx)`-11(x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
и формулы:
C`=0 ⇒ [m] (-11\frac{\pi}{4})`=0; (12)`=0[/m]
(x)`=1
[m](tgx)`=\frac{1}{cos^2x}[/m]
[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11[/m]
[m] y`=0[/m]
[m]11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=0[/m] ⇒ [m] \frac{1}{cos^2x}-1=0[/m]
[m]cos^2x=1[/m] ⇒ [m]cosx=-1[/m] или [m] cosx=1[/m]
[m]x=-\pi+2 \pi k, k\in Z[/m] или [m]x=2 \pi k, k\in Z[/m]
x=0 -одна точка возможного экстремума,
принадлежащая [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]
Исследуем ее на экстремум.
Применяем теорему (достаточное условие):
Если f`(x_(o))=0 и при переходе через точку x_(o) производная меняет знак
( с + на -) то х_(о) - точка максимума,
( с - на +) то х_(о) - точка минимума.
Если нет смены знака, то точка x_(о) не является точкой экстремума.
Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos^2x ≤ 1
[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=11\cdot \frac{1-sin^2x}{cos^2x}=11tg^2x[/m]
[m] y` ≥ 0[/m] на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] ⇒
функция возрастает на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]
и принимает наименьшее значение в точке [m]x=-\frac{\pi}{4}[/m]
[m]y(-\frac{\pi}{4})=11tg(-\frac{\pi}{4})-11\cdot(-\frac{\pi}{4}) -11\frac{\pi}{4}+12=-11+12=1[/m]
О т в е т. y_(наим на[[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] )=[m]y(-\frac{\pi}{4})=1[/m]
y'=(11-11cos^2(x))cos^2(x)=11(1-cos^2(x)/cos^2(x)=11sin^2(x)/cos^2(x)=11tg^2(x)>0
y'>0. Следовательно функция y(x) возрастает на отрезке [-pi/4;pi/4].
Значит, ее наименьшее значение равно y(-pi/4)= 11*tg(-pi/4)-11*(-pi/4)-11*pi/4+12=11*(-1)+11pi/4-11pi/4+12=-11+12=1
Ответ: 1