Задача 35772 log2(1 + cos4x) = 1 + log(sqrt(2))sin x...

vk177899689

12 апреля 2019 г. в 19:31

log₂(1 + cos4x) = 1 + log_√2sin x

sova

12 апреля 2019 г. в 19:53

ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1+cos4x>0 ⇒ cos4x>–1 ⇒ cos4x ≠ –1 ⇒ 4x ≠ π+2πn, n ∈ Z ⇒ x ≠ (π/4)+(π/2)·n, n ∈ Z

log_√2sinx=log_2^1/2sinx=(1/(1/2))log₂sinx=2log₂sinx=

=log₂sin²x

2+log₂sin²x=log₂4+log₂sin²x=log₂4sin²x

log₂(1+cos4x)=log₂(4sin²x)

1+cos4x=4sin²x

1+cos4x=2·(1–cos2x)

2cos²2x=2–2cos2x

cos²2x+cos2x–1=0

D=5

cos2x=(–1–√5)/2 не имеет корней в силу ограниченности косинуса

cos2x=(–1+√5)/2

2х= ± arccos(–1+√5)/2 + 2 πm, m ∈ Z

х= ± (1/2) arccos(–1+√5)/2 + πm, m ∈ Z

Области определения принадлежат корни:

х=(1/2)arccos(–1+√5)/2 + 2πk, k ∈ Z

и

х=π – (1/2)arccos(–1+√5)/2 + 2πn, n ∈ Z