Задача 49969 Решить неравенство [m]\frac{\log_3...

tunerokkkk

13 мая 2020 г. в 09:05

Решить неравенство
[m]\frac{\log_3 x}{\log_3 \left(\frac{x}{81}\right)} + \frac{3}{\log_3 x} + \frac{8}{\log_3^2 x - \log_3 x^4} \geq 0 [/m]

sova

13 мая 2020 г. в 09:20

ОДЗ:
{[m]log_{3}x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1[/m]
{[m]log_{3}\frac{x}{81} ≠ 0 ⇒ \frac{x}{81} ≠ 1⇒ x ≠ 81[/m]

[m]log^2_{3}x-log_{3}x^4 =log^2_{3}x-4log_{3}x[/m]


Замена переменной:
[m]log_{3}x=t[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t^2-4t}\geq 0[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t(t-4)}\geq0[/m]

[m]\frac{t^2+3(t-4)+8}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t-4}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)(t+4)}{t(t-4)}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

___+__ [–4] ___–___ (0) _+__ [1] __–__ (4) ___+___

t ≤ –4 или 0 < t ≤ 1 или t > 4

Обратно:

[m]log_{3}x ≤ -4 [/m] или [m]0 < log_{3}x ≤ 1[/m] или [m]log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]x ≤ \frac{1}{81} [/m] или [m]1 <x ≤ 3[/m] или [m]x>81 [/m]

C учетом ОДЗ:
О т в е т. (0;[m]\frac{1}{81} [/m]] U(1;3]U(81;+ ∞ )