Задача 31293 Среди первых ста членов арифметической...

vk417056836

2018-11-26 12:44:32

Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа 11/2, 213/14 и 541/14. Найдите наименьшее возможное значение седьмого члена прогрессии.

sova

2018-11-26 14:02:26

★

Пусть a_(1)=11/2; a_(k)=213/14; a_(m)=541/14

a_(m)=a_(1)+d*(m-1) ⇒
541/14=(11/2)+d*(m-1);
d*(m-1)=464/14
d*(m-1)=232/7
232=2*2*2*29
⇒
если d=1/7, то m-1=232 противоречит тому, что m < 100
если d=2/7, то m-1=116 противоречит m < 100

остается d=4/7, то m-1=58 ⇒ m=59
d=8/7 тоже не подходит, так как

a_(k)=a_(1)+d*(k-1) ⇒
213/14=(11/2)+d*(k-1);
d*(k-1)=136/14
d*(k-1)=68/7
68=2*2*17
⇒
d=4/7
k-1=17 ⇒ k-1=17; k=18

итак
a_(1)=11/2; a_(18)=213/14; a_(59)=541/14

Теперь будем уменьшать первый член прогрессии.
(11/2)-(4/7)=69/14
(69/14)-(4/7)=61/14
...

Важно, чтобы 541/14 имел номер 100
a_(100)=541/14 ⇒
541/14 = х + (8/14)*(100-1)
х=-251/14

x=a_(1)

Тогда
11/2=(-251/14)+(8/14)*(p-1)
p-1=41
11/2=a_(42)

213/14=(-251/14)+(8/14)*(s-1)
s-1=58
s=59

213/14=a_(59)

541/14=(-251/14)+(8/14)*(q-1)
q-1=99
q=100
541/14=a_(100)

Значит.
a_(7)=(-251/14)+(8/14)*6
a_(7)=-203/14

О т в е т. -203/14