Задача 39797 Для заданной функции провести полное...

robertfrelikh

2019-09-23 14:52:35

Для заданной функции провести полное исследование: точки разрыва функции, асимптоты, точ^и минимума, максимума, точки перегиба; интервалы возрастания, убывания функции; интервалы выпуклости и вогнутости функции. Построить график функции. На графике функции указать асимптоты, особые точки — точки экстремума, точки перегиба. Построение выполнить схематично на маспггабно-координатной бумаге.

sova

2019-09-23 15:23:24

Область определения (- ∞ ;-sqrt(6)) U (--sqrt(6);-sqrt(6)) U(-sqrt(6);+ ∞ )

Исследование функции с помощью первой производной:

y`=5* ((x^3)`*(6-x^2)-x^3*(6-x^2)`)/(6-x^2)^2

y`=5*((3x^2*(6-x^2)-x^3*(-2x))/(6-x^2)^2

y`=5*(18x^2 - 3x^4 +2x^4)/(1 - x^2)^2

y`=5*(18x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2

y`=0
18x^2 - x^4=0

x^2*(18- x^2)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=18
x=0 или х = ± sqrt(18)= ± 3sqrt(2)

Знак производной:
_-_ (-3sqrt(2)) _+_ (-sqrt(6_)) _+_ (0) _+_ (sqrt(6)) _+_ (3sqrt(2))_-_

y`>0 на (-3sqrt(2); -sqrt(6)) и на (-sqrt(6); 0 ) и на (0; sqrt(6)) и на (sqrt(6);3sqrt(2))

Функция монотонно возрастает на (-3sqrt(2); -sqrt(6)) и на (-sqrt(6); 0 ) и на (0; sqrt(6)) и на (sqrt(6);3sqrt(2))

y` < 0 на (- ∞ ;-sqrt(6)) и на (sqrt(6);+ ∞ )

Функция монотонно убывает
на (- ∞ ;-sqrt(6)) и на (sqrt(6);+ ∞ )

x=-sqrt(6) -[b] точка минимума[/b]

y(-sqrt(6))=5*(-sqrt(6))^3/(6-(-sqrt(3))^2)= 10sqrt(6)

х=sqrt(6) - [b]точка максимума[/b]

y(sqrt(6))=5*(sqrt(3))^3/(1-(sqrt(3))^2)=10sqrt(6)

[b]Обратите внимание [/b]
[i]максимум меньше минимума[/i], потому что это [b]локальное [/b]свойство, т. е свойство в окрестности точки.


Исследование функции с помощью второй производной:

y``=5*((18x^2 - x^4)/(6 - x^2)^2)`

y`=5*((18x^2-x^4)`*(6-x^2)^2-(18x^2-x^4)*((6-x^2)^2)`)/((6-x^2)^2)^2

y`=5*((36x-4x^3)*(6-x^2)^2-(18x^2-x^4)*2*(6-x^2)*(6-x^2)`)/(6-x^2)^4

y`=5*4*x*(6-x^2)((9-x^2)*(6-x^2)+18x^2-x^4)/(6-x^2)^4

y`=20*x(54-6x^2-9x^2+x^4+18x^2-x^4)*x/(6-x^2)^3

y`=20*x(54+3x^2)*x/(6-x^2)^3

y`=0

3x^2+54> 0 при любом х

x=0 - [b]точка перегиба[/b], вторая производная меняет знак с + на -

y``>0 на (- ∞ ;-sqrt(6)) и (-sqrt(6);0)
функция выпукла вниз на (- ∞ ;-sqrt(6)) и (-sqrt(6);0)

y``< 0 на (0;sqrt(6)) U(sqrt(6);+ ∞ )
функция выпукла вверх на (0;sqrt(6)) U(sqrt(6);+ ∞ )