Задача 52465 ...

ladykaramel

15 июня 2020 г. в 19:15

Решить неравенство

log_5–4x–x² (5–9x–2x²) ≤ log_1–x (1–2x)

sova

15 июня 2020 г. в 19:58

★

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} 5-9x-2x^2 >0\Rightarrow 2x^2+9x-5 <0\rightarrow (x+5)(2x-1) <0\\5-4x-x^2 >0\Rightarrow x^2+4x-5 <0\Rightarrow (x+5)(x-1) <0 \\ 5-4x-x^2\neq 1\Rightarrow x^2+4x-4\neq 0\Rightarrow D=32; x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2} \\ 1-x > 0\Rightarrow x < 1\\1-x\neq 1\Rightarrow x\neq 0 \\ 1-2x>0\Rightarrow x < \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (–5; –2–2√2)U(–2–2√2;0)U(0;[m]\frac{1}{2})[/m]


Неравенство принимает вид:

[m]log_{(x+5)(1-x)}(x+5)(1-2x) ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

Заменим логарифм произведения логарифмом суммы:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} - log_{1-x}(1-2x) ≤ 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1- log_{1-x}(1-2x))}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]


Решаем неравенство методом интервалов:

Находим нули числителя:

[m]log_{1-x}(x+5)=0[/m] или [m]1- log_{1-x}(1-2x)=0[/m]

[m]x+5=1[/m] или [m]1-2x=1-x[/m]

[m]x=-4[/m] или [m]x=0[/m]

нули знаменателя:

[m]log_{1-x}(x+5)+1=0[/m] ⇒ [m]x=-2\pm 2 \sqrt{2}[/m]

_+__ (–2–2√2) _–__ [–4] ___+____ [0] _–__ (–2+2√2) _+__

C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (–2–2√2; –4]U(0;[m]\frac{1}{2}[/m])