Задача 21728 Найти уравнение плоскости проходящей...

u17612116830

25.12.2017

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую (x-1)/2=(y+2)/1=z/3 параллельной прямой (x+1)/2=(y-2)/3=(z-2)/-5

SOVA

26.12.2017

★

Прямая
(x–1)/2=(y+2)/1=z/3
проходит через точку (1;-2;0) и имеет направляющий вектор
vector{a}=(2;1;3)
Прямая
(x+1)/2=(y–2)/3=(z–2)/–5
имеет направляющий вектор
vector{b}=(2;3;-5)

Искомое уравнение плоскости имеет вид:
Ax+By+Cz+D=0
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты
vector{n}=(A;B;C).

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую,
то она проходит и через точку (1;- 2; 0).
Подставим координаты точки в уравнение плоскости:
A-2B+D=0

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую,
то она параллельна заданной прямой. В этом случае, направляющий вектор прямой и нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярны, а значит их скалярное
произведение равно 0:
vector{a}*vector{n} =0
2A+B+3C=0

Так как искомая плоскость параллельна и прямой с
направляющим вектором vector{b}, то направляющий вектор
прямой и нормальный вектор искомой плоскости
перпендикулярны, а значит их скалярное
произведение равно 0:
vector{n}*vector{n} =0
2A+3B-5C=0

Решаем систему:
{A-2B+D=0
{2A+B+3C=0
{2A+3B-5C=0
Из второго
2A=-B-3C
Из третьего
2А=-3В+5С
-B-3C=-3В+5С
B=4C

А=-3,5С

Подставляем в первое
-3,5С-2*4С+D=0
D=11,5C

Уравнение плоскости имеет вид
-3,5Сx+4Сy+Сz+11,5С=0
Сокращаем на С
-3,5х+4у+z+11,5=0
-7x+8y+2z+23=0

О т в е т. -7x+8y+2z+23=0