больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина
АС.
а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью α, проходящей через ребро SC
и середину ребра АВ равен 30 °
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
Тогда
С(0;0;0)
B(0;a;0)
А([m]\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0[/m])
H- точка пересечения медиан Δ АВС и проекция вершины S на пл. Δ АВС
H([m]\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{2};0[/m])
S([m]\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};\frac{5a}{\sqrt{6}}[/m])
N- середина АС
N (([m]\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};0[/m])
D_(1)- проекция точки D на пл. Δ АВС
D_(1) ([m]\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{6}}{2};\frac{\frac{a}{2}+\frac{a}{4}}{2};0[/m])
D_(1) ([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};0[/m])
D([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};\frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])
vector{BD}=([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8}-a; \frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])
vector{BD}=([m]\frac{5a}{8\sqrt{3}};-\frac{5a}{8}; \frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])
|vector{BD}|=[m]\frac{5a}{4}[/m]
Составим уравнение плоскости SCH. Так как С(0;0;0), то уравнение плоскости в общем виде:
Ах+By+Cz=0
Подставим координаты точек S и Н
получим:
[m] \sqrt{3}x-y=0[/m]
Нормальный вектор плоскости имеет координаты:
vector{n}=(sqrt(3);-1)
|vector{n}|=2
[red]a) [/red] угол между прямой и плоскостью - это [i]угол между
прямой и ее проекцией[/i] на плоскость.
Этот угол является [i]дополнительным[/i] к углу между
направляющим вектором этой прямой - вектором vector{BD}
и нормальным вектором плоскости:
[m]cos\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\vec{BD}\cdot\vec{n}}{|\vec{BD}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{2}[/m]
[m]\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\pi}{3}[/m]
Итак,
[m]\angle (BD,\Delta SCH)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}[/m]
[red]б)[/red]
[i]Расстоянием между скрещивающимися прямыми[/i] называется
расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, про-ходящей через другую прямую.
В плоскости АSC проведем прямую DK || SC ( рис.2)
SC|| пл BDK
BD ⊂ пл BDK
Так как D - середина SN, то DK - средняя линия Δ SNC
K([m]\frac{a\sqrt{3}}{8};\frac{a}{8};0[/m])
[b]По условию:
[/b]
[m] a=3 [/m]
B(0;3;0)
D([m]\frac{15\sqrt{3}}{24};\frac{9}{8};\frac{15}{2\sqrt{6}}[/m])
K([m]\frac{3\sqrt{3}}{8};\frac{3}{8};0[/m])
C(0;0;0)
Составляем уравнение плоскости BDK:
[m]7\sqrt{6}x+3\sqrt{2}y-2\sqrt{3}z-9\sqrt{2}=0[/m]
[m]|\vec{n_{BDK}}|=\sqrt{(7\sqrt{6})^2+(3\sqrt{2})^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{324}=18[/m]
Находим расстояние от точки С (0;0;0) до плоскости BDK ( см формулу в приложении 3)
d=[m]\frac{|0+0-0-9\sqrt{2}|}{18}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
О т в е т.
а) [m]\angle (BD,\Delta SCH)=\frac{\pi}{6}[/m]
б) d=(BD, SC)=[m]\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]