Задача 24670 Четырёхугольник ABCD вписан в...

slava191

07.03.2018

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AА1 также диаметр окружности. Докажите, что DNM = BA1D1.

б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.

SOVA

08.03.2018

★

а)
Так как по условию диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М⇒ AM=MD и ∪АС1=∪С1D
Обозначим ∪АС1=∪С1D=у
(диаметр перпендикулярный хорде делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам).
Аналогично, так как по условию диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N, то
AN=NB
∪ AD1= ∪ D1B
Обозначим
∪ AD1= ∪ D1B= х

Кроме того, так как СС1 ; DD1 и АА1 - диаметры, то
∪ AD1= ∪ DA1=x
∪ AC1= ∪ A1C=∪ D1C=y

MN - средняя линия треугольника ABD
MN || BD
∠ DNM= ∠ NDB внутренние накрест лежащие углы при параллельных MN и BD и секущей DN.
∠ NDB= ∠ BA1D1 как углы опирающиеся на одну и ту же дугу D1B
По свойству транзитивности
∠ DNM= ∠ BA1D1

б)
∠ ADB=2* ∠ CDB
∠ CDB измеряется половиной дуги ВС
∪ BC=y-x

∠ ADB=2*(y-x)/2=y-x
с другой стороны
∠ ADB=х, как угол опирающийся на дугу АВ.
y-x=x
у=2х

Так как у+у+х=180 градусов, то 2х+2х+х=180 градусов
х=36 градусов.

у=2х=72 градусов


∠ А=(1/2)*∪BD=(1/2)*(y-x+y+x)=(1/2)*2y=y=72 градусов
∠ В=(1/2)∪ADC=(1/2)*(y+y+x+y)=(1/2)(72 градусов+72 градусов+36 градусов+72 градусов)=
=(1/2)*252 градусов=126 градусов
∠ С=(1/2)∪BAD=(1/2)*(x+x+y+y)=(x+y)=108 градусов
∠ D= (1/2)∪СВА=(1/2)*(у-х+х+х)=(1/2)(у+х)=54 градусов