Задача 48706 найдите наименьшее значение функции...

mulatka

2020-04-28 14:04:32

найдите наименьшее значение функции f(x)=x^4-2x^2+5 на отрезке [-2;0.5]

пожалуйста подробно

sova

2020-04-28 14:06:20

f `(x)=4x^3-4x

f `(x)=0

4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0

x=0 или x^2-1=0

x=0; x= ± 1 - критические точки.

Точки, в которых возможен экстремум,

Для того, чтобы убедиться, что он есть применяют признак ( достаточное условие, теорема)

А теорема говорит о том, что при переходе через точку производная должна менять знак.

Вот и смотрим какой знак у производной:

___ (-1) ____ (0) ____ (1) ____

Например в точке х=10
f `(10)= 4*10^3-4*10 >0 ставим + справа от 1

Далее знаки чередуются. Но можно в каждом промежутке выбирать точки и смотреть какой знак.
_[green]-[/green]__ (-1) __[red]+[/red]__ (0) __[green]-[/green]__ (1) __[red]+[/red]__

Там где + функция возрастает, там где минус убывает
Если при переходе через точку производная меняет знак
с + на - , то точка максимума,

[b]Теперь на отрезке[/b]

решение выглядит так:

f `(x)=4x^3-4x

f `(x)=0

4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0

x=0 или x^2-1=0

x=0; x= ± 1 - критические точки.

Отрезку принадлежат только две точки: -1 и 0:

[-2] __[green]-[/green]__ (-1) _[red]+[/red]__ (0) _[green]-[/green]_ [0,5]


x=0 - точка максимума. В ней не может быть наименьшего.

Значит считаем в точках:

x=-2 подставляем в данную функцию:
y=(-2)^4-2*(-2)^2+5=16-8+5=13

x=-1
y=(-1)^4-2*(-1)^2+5=1-2+5=4

x=0,5
y=(0,5)^4-2*(0,5)^2+5=(1/16)-(1/2)+5 >4

О т в е т Наименьшее 4 в точке x=-1

На рисунке кривая y=x^4-2x^2+5

Функция четная, график симметричен, отн оси Оу.

Нам нужен только "кусочек" этой кривой на отрезке.

На этом отрезке график нарисован сплошной линией, а остальной не стерла, просто нарисовала пунктиром.

Вот и смотрите, наименьшее в точке x=-1 и оно равно 4